Первый раз слышу, чтобы у собаки проблемы с глазами были от моркови.....

У меня старший с проблемными глазами. Наблюдаемся в Беланте, офтальмолог Черноусова Ирина Викторовна. Знаю, что у нее частые пациенты - бигли. Иногда даже знакомых там встречаем неожиданно))) Так что если проблема не уйдет, я бы рекомендовала обратиться к проверенному хорошему специалисту.
А подтекать глазки могут по-разному и разные могут быть причины. Первая - то, что растаял снег и на улице стало много пыли. Само пройдет. Можно, наверное, глаза попромывать чем-то (есть всякие фито-капельки для глаз, можно в ветаптеке любой спросить). Вторая - бывает грибок, от которого появляются так называемые слезные дорожки, если вы именно их называете словом "подтекают". Третья и далее - какие-то заболевания типа синдрома сухого глаза. Что именно в вашем случае не так - только доктор при осмотре определит.
На моем опыте - ветеринары, не являющиеся специалистами в офтальмологии, не смогли нам поставить нормальный диагноз, хотя он лежал на поверхности (сухой глаз как последствие операции по удалению третьего века). Соответственно, пытались снять симптомы, а не найти причину, но и это неудачно.

Как правило делают что-то одно - либо капли, либо ошейник. Аллерген может накапливаться и внезапно проявиться, достигнув определенного количества. Не факт, что раньше делали так и у собаки ничего не было.