Могу кое что сказать по первому вопросу
Перед отъездом тоже много информации читала. У нас на форуме почему то мало кто этим делится, хотя многие ездят на выставки.
Прививку все таки очень важно ставить после чипа. При оформлении документов в российских таможенных службах (на Курском вокзале) на это обращают внимание.
Тоже пришлось отложить много поездок именно по этой причине. У вас есть время потому что ещё должен быть карантин после прививки. В течении 30 дней.
Вам придётся идти и ставить прививку ещё раз или договариваться с вет врачом который может поставить вам штамп в паспорте. Причём прививка должна быть той марки которую допускает страна в которую вы едете.
Лучше всего звонить в таможенные службы в аэропорту и по телефону все спросить.
Дам ссылку по телефонам звонила и спрашивала
Оформление документов
Ещё одна важная ссылка из россельхознадзора, здесь нашла информацию про тест на антитела к бешенству
Россельхознадзор

Проблема! Посмотрите, стоит ли в ветпаспорте дата чипирования. Вообще, в ветклинике можно попросить, чтобы просто дату чипирования поставили не фактическую, а до прививки от бешенства. Знаю, что в клиниках на это идут. Если у вас уже стоят даты и чипирование позже последней прививки, это плохо...

Ни разу об этом не слышала (а летали мы много)
В аэропорту вы первым делом идете на ветконтроль, там меняете свою справку №1 на евросправку. А потом идете регистрироваться на рейс, взвешивать и оплачивать собаку. Отдаете ее на стойке негабаритного багажа после оплаты и получения посадочного.

О, с этим во всех странах свои приколы)) Например, в Германии Вам собаку не отдадут, пока не покажете справки. И, скорее всего, местная ветслужба найдет вас сама еще быстрей, чем вы ее. У них там спецотделение для животных есть, там  ипроверяют документы. Собак из самолета приносят быстрее, чем мы проходим паспортный контроль. А вот в Дании я моталась по всему аэропорту в попытках найти ветконтроль или хоть кого-то, кто проверит, что я честно привезла собаку со всеми положенными документами)))))) Причем, заранее в ветконтроль сообщить, что я лечу с собакой, было нужно и формальный ОК от них я получила. А по прилету мне просто привезли собаку на тележке и поставили возле ленты багажа. Все - забирай и вали на все 4 стороны, как говорится)))
Я обычно прохожу паспортный контроль, нахожу каких-нибудь служащих аэропорта и спрашиваю, кто и куда привезет собаку, где мне получить мое животное.
В Москве мы собак сдаем на стойке негабаритного багажа и получаем там же. В Европе по-разному, но чаще это 2 места - либо к ленте багажа подвозят, либо в пункте ветконтроля проверяют документы.
Проверяют только справки, с чем-то еще я лично не сталкивалась.

Мой совет - написать в ветслужбу аэропорта прилета. Спросить, какие нужны документы и куда обратиться по прилету, нужно ли проходить контроль и где. Самое удобное!

Удачной поездки!